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Problème dans le magasin de jouets

Problème dans le magasin de jouets

10 sacs de billes sont arrivés au magasin de jouets, chacun contenant 1000 billes. Le problème est que les sacs sans étiquette sont arrivés et nous ne pouvons pas distinguer les sacs qui contiennent 9 grammes de billes de ceux qui contiennent 10 grammes de billes, ce qui est un problème car ils sont vendus à des prix différents.

Nous avons une balance dans le magasin et nous savons que chaque sac contient des billes à poids unique, soit 9 grammes soit 10 grammes.

Combien de poids faudrait-il faire au moins pour pouvoir identifier quels sacs contenant 9 grammes de billes et lesquels contiennent 10 grammes de billes?

Solution

Avec un lourd ce serait suffisant. Nous mettons les sacs en ordre et prenons une quantité de billes de chacun qui correspond à une puissance de 2. Ainsi, nous prendrions 1 marbre du premier sac, 2 du deuxième, quatre du troisième, 8 du quatrième et ainsi de suite 512 billes du dixième sac.

Pour les peser, si tous les billes pèsent 10 grammes, la balance marquerait 10230 grammes mais comme nous aurons environ 9 grammes de billes, le poids sera 10230 - X. Une fois que nous aurons trouvé X du poids qui marque la balance, nous savons qu'elle peut être réécrite uniquement comme une somme des puissances de deux et chaque exposant de la puissance indiquera le sac contenant 9 billes de gramme.

Par exemple, si le poids obtenu était par exemple 9924 nous aurions X = 10230 - 9924 = 306 = 22 + 25 + 26 + 29 On sait donc que les sacs 2, 5, 6 et 9 contiennent des billes de 9 grammes.