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Facteur contre pouvoir

Facteur contre pouvoir

Quel nombre est plus grand, 999! ou 500999?

Solution

Pour commencer, il est préférable de commencer à tester des situations similaires avec des nombres plus petits, ce qui nous permet de mieux apprécier les relations qui existent entre ces deux nombres.

Essayons 59 contre 9! par exemple. Dans l'un des calculs, nous avons 9 facteurs égaux à 5, tandis que dans l'autre, il y a aussi 9 facteurs, dont quatre sont plus petits, un égal et quatre autres supérieurs à cinq. L'idée clé est, pouvons-nous faire correspondre un grand et un petit, pour les comparer à deux égaux de l'autre produit?

En effet, on observe que 1 * 9 <5 * 5, 2 * 8 <5 * 5, 3 * 7 <5 * 5 et 4 * 6 <5 * 5. Il est donc clair que 59 Il est bien plus grand que 9!

Maintenant, essayons de le prouver pour les chiffres de la phrase. La clé, puisque dans les deux produits il y a 999 facteurs, est de comparer des paires de facteurs avec des paires de facteurs, seulement dans ce cas le facteur répété est 500. Les nombres qui sont égaux à 500 dans le cas de la factorielle peuvent être représentés comme 500 + a et 500 - a, et son produit est (500 - a) * (500 + a) = 500 * 500 - a * a <500 * 500, car a * a est toujours positif. De toute évidence, 998 facteurs correspondant à cela forme (le facteur central est 500), on obtient l'inégalité recherchée, 999! < 500999.