L'information

1020 poignées de main

1020 poignées de main

Les participants d'une olympiade mathématique occupent tous les sièges d'une salle rectangulaire dans laquelle les sièges sont alignés en rangées et en colonnes.

Au début du test, un enseignant suggère qu'ils se souhaitent bonne chance en se serrant la main pour que chacun des candidats serre la main de ceux qui sont à côté de lui (avant, arrière, côtés et en diagonale) et seulement ces.

Quelqu'un note que 1020 poignées de main ont été données. Combien de participants y a-t-il si l'on sait que le nombre de lignes est un multiple de 7?

Solution

Cas possibles:

Le cas minimum qui remplit toutes les conditions, à l'exception du nombre de poignées de main, serait celui avec sept rangées, trois sièges dans chaque rangée et 21 participants au total. Pour compter les compressions (voir image), il faudra tenir compte du fait que les quatre participants des coins se serrent la main avec trois participants (lignes bleues), ceux qui sont situés sur les côtés, qui dans ce cas sont 12, se serrent la main 5 participants chacun (lignes rouges) et ceux qui sont assis dans l'un des sièges restants, 5 dans ce cas, serrent la main de 8 (lignes vertes).

Au total, nous pourrions dire que si nous ajoutons les mains tendues que tous les participants donnent, nous aurions 4 * 3 + 12 * 5 + 5 * 8 = 12 + 60 + 40 = 112 mains. Cependant, il y a un petit détail qui doit être pris en compte, c'est que dans chaque poignée de main deux personnes interviennent, de sorte que seulement 56 compressions sont données, en réalité.

Ce calcul est loin du 1020 dont le problème nous parle, donc selon toute vraisemblance il y a plus de lignes, ou de colonnes, ou les deux.

Supposons que nous ajoutions une colonne de sièges (c'est-à-dire une de plus dans chaque ligne). Si nous l'ajoutons à la fin ou au début, il y aura des changements dans le nombre de mains tendues que les personnes déjà placées devront offrir, de sorte que nous l'ajouterons entre la première et la deuxième colonne, c'est-à-dire que nous ajouterons 2 sièges en premier et dernière rangée et 5 des sièges intérieurs, c'est-à-dire 2 * 5 + 5 * 8 = 50 mains tendues, ou 25 poignées supplémentaires. Chaque colonne que nous ajoutons fournit donc 25 poignées de main, donc nous n'atteindrions jamais 1020 (56 + n * 25 ne peut jamais être 1020 pour n'importe quel n, car il est facile à vérifier).

Si nous augmentons le nombre de lignes du montant initial, nous ne pouvons le faire que de 7 à 7, c'est-à-dire que nous ajouterions 14 sièges au début ou à la fin de la ligne et 7 intérieurs (encore une fois, nous ne sommes pas censés les ajouter à la fin ou au début, pour simplifier les calculs). Au total, ce serait 14 * 5 + 7 * 8 = 126 mains tendues, soit 63 poignées. Au total, nous aurions désormais 119 poignées. Maintenant, en augmentant colonne par colonne, nous ajoutons 2 * 5 + 12 * 8 = 106 mains, ou 53 poignées. Par conséquent, le nombre serait 119 + n * 53, avec n le nombre de colonnes. Si nous mettons 1020 = 119 + n * 53, nous avons que n = (1020 - 119) / 53 = 901/53 = 17. Autrement dit, que avec 14 rangées et 20 sièges par rangée (colonnes) nous aurions 1020 poignées.